Просмотров: 14715  |  Загрузок: 2284  
Оцените: 4.0/10
скачать

Информационная карта урока по геометрии 10 класса №24
Тема. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников.
Цель: иметь представление о правильных многогранниках.

Задачи:
1. Учебно – познавательная- дать понятие правильных многогранников, выяснить сколько их существует, каковы их названия.
2. Развивающая – развитие аналитического мышления.
3. Воспитательная – способствовать развитию устойчивого интереса к математике через обучение с применением информационных технологий.
Структура составного урока
3

4 5

4
Урок изучения и первичного закрепления

Оборудование: чертёжные инструменты, модели многогранников, компьютеры.
Содержание учебно-познавательной деятельности Методический инструментарий Ориентиры развития
3

4

5

I. Мотивация.
1. Рассказ учителя.
Сегодня мы продолжаем работу с информационной картой №4, найдите и прочитайте микроцель № 3 (слайд 3)
Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна.
II. Актуализация знаний.
1. Ученик №1. Центральная симметрия.(слайд 5)
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

Осевая симметрия.(слайд 4)
Точки А и А1 называют симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Точки оси симметрии считаются симметричными самим себе.

2.Учитель.
Задача: Построить фигуры симметричные относительно прямой f. (слайд 6)

III Новый материал.
1. Учитель
Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаем вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.

Немецкий философ Иммануил Кант говорил о зеркальном отражении так: «Что может быть более похоже на мою руку или моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место постоянной руки…».
Это и есть симметрия относительно плоскости.
Симметрия относительно плоскости.(слайд 7)
Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости α(плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.

2.Сообщения учеников.
А) Симметрия в природе.
Б) Симметрия в искусстве.
В) Симметрия в архитектуре.

3. Учитель.
На сегодняшнем уроке у вас есть возможность расширить свои знания о многогранниках. Послушайте внимательно определение.(слайд 8)
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?
Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью) Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!) Посмотрим на его грани – правильные треугольники. Посчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих частях его.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.
Сколько их? Оказывается ровно пять – ни больше, ни меньше.

Подтвердим это.
Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще п- угольники при п  6.
Угол правильного п – угольника при п  6 не меньше 1200. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому, если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные п – угольники при п  6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше, чем 1200 3 = 3600. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600. По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех, пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет. Получаем следующие правильные многогранники.

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800.(слайд 9)

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2400. (слайд 10)

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3000. (слайд 11)
Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. (слайд 12)

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240. (слайд 13
Названия этих многогранников пришли из древней Греции и в них указывается число граней: (слайд 14)
Эдра – грань
Тетра – 4
Гекса – 6
Окта – 8
Икоса – 20
Додека – 12
Обратите внимание на эпиграф к нашему уроку. Это слова Л.Кэррола: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях ученые, нам расскажут…
4)
Сообщение (слайд 15)
«Правильные многогранники в философской картине мира Платона».

Подробно описал свойства правильных тел древнегреческий ученый Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена XIII книга «Начал» Евклида. Платон считал, что атомы огня имеют форму тетраэдра, земли – гексаэдра, воздуха – тетраэдра, воды – икосаэдра, вся вселенная – форма додекаэдра.
Учитель. Из Древней Греции перенесемся в Европу, где жил и творил замечательный немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571-1630).
Сообщение
«Кубок Кеплера» (слайд 16)
После долгой кропотливой
работы и наблюдением за
открытиями знаменитых
астрономов, Кеплер
предположил, что существует
связь между пятью правильными
многогранниками и шестью
открытыми к тому времени
планетами Солнечной системы.
Согласно этому предположению,
в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера

Меркурия.
Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений он опубликовал в книге «Тайна мироздания». Кеплер считал, что тайна Вселенной раскрыта.
Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные своих коллег, и, наконец, нашел в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы.
Сообщение (слайд 17)
«Икосаэдро – додекаэдровая структура Земли»
Идеи Платона и Кеплера о
связи правильных
многогранников с
гармоничным
устройством мира
и в наше время нашли
свое продолжение в
интересной научной
гипотезе, которую в
начале 80-х годов
высказали московские
инженеры В.Макаров
и В.Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро – додэкаэдрововую структуру Земли. Она
проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро – додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и др.В этих точках находятся максимумы и минимумы атмосферного давления, гиганские завихрения Мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох – Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Учитель. А сейчас от научных гипотез перейдем к научным фактам.
5)
Исследовательская работа.
«Формула Эйлера»
Изучая многогранники, мы с вами подсчитывали у них количество граней, ребер и вершин. Подсчитайте количество указанных элементов у Платоновых тел и результаты занесите в таблицу №1. (слайд 18)

Таблица №1 (слайд 19)
Правильный многогранник Число
граней вершин ребер
тетраэдр 4 4 6
куб 6 8 12
октаэдр 8 6 12
додекаэдр 12 20 30
икосаэдр 20 12 30

Проанализируйте эту таблицу и ответьте на вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?». (Нет)
Рассмотрим сумму чисел в двух столбцах (Г+В). Составим новую таблицу своих подсчетов.
Таблица №2.(слайд 21)
Правильный многогранник Число
граней и вершин ребер
тетраэдр 4+4=8 6
куб 6+8=14 12
октаэдр 8+6=14 12
додекаэдр 12+20=32 30
икосаэдр 20+12=32 30

Теперь видно закономерность: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2», т.е. Г + В = Р + 2. Эта

формула носит имя Эйлера и она верна для любых выпуклых многогранников.(слайд 22)
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников Сальвадоре Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. (слайд 23)
Учеными достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, но сам ли человек их придумал? Скорее всего он «подсмотрел» их у природы. Послушаем сообщение.

6) (слайд 24)

Сообщение
«Правильные многогранники и природа»
Правильные многогранники
встречаются и в живой природе.
Например, скелет одноклеточного
организма феодарии по форме
напоминает икосаэдр.
Чем же вызвана такая природная
геометризация феодарий?
По- видимому, тем, что из всех
многогранников с тем же числом
граней именно икосаэдр имеет

наибольший объем при наименьшей
площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.
Учитель. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

7) Решим несколько задач. (слайд 25)

Задача:
Определите количество граней,
вершин и рёбер многогранника,
изображённого на рисунке .
Проверьте выполнимость
формулы Эйлера для данного
многогранника.

Задача:
В кубе из одной вершины проведены диагонали граней D1A, D1B, D1C и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник D1AB1C, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые, правильный тетраэдр.
Решение: очевидно, что благодаря симметрии все ребра получившегося многогранника равны, поэтому этот многогранник является правильным тетраэдром.
8) Рефлексия

Укажите стрелками развертку данной фигуры.
1 вариант

2 вариант

.

9) Итог урока.(слайд 27)
Вопросы.
1.С какими правильными многогранниками мы сегодня познакомились?
2. Сколько тел Платона существует?
3. Назовите их.
4. Почему их так называют?
10) Домашнее задание. (слайд 28)
« На отлично» - № 284, 2 модели правильных многогранников.
« На хорошо» - № 280, 2 модели правильных многогранников.
« На удовлетворительно» - № 276, 277, 1 модель правильного многогранника.

Фронтальная работа

Работа в парах

Фронтальная работа

Фронтальная работа

Фронтальная работа

Фронтальная работа

Фронтальная работа

Фронтальная работа

Работа в парах

Фронтальная работа

Фронтальная работа

Самостоятельно с проверкой.

Самостоятельно с проверкой.

Фронтальная работа

Развитие памяти

Развитие операционно – контрольных умений

Развитие зрительной механической памяти; логического мышления

Формирование мотивации, интереса к предмету

Развитие познавательных умений

Развитие приемов наблюдения

Развитие аналитико – синтезирующего мышления

Развитие интереса

Развитие интереса

Развитие интереса

Развитие мышления

Развитие интереса

Развитие познавательных умений

Мышление
память

Мышление
память

Память, речь

Дата публикации: 21.03.2010
Автор:
Хохлова Татьяна Борисовна, МОУ "СОШ №56" г.Новокузнецк. Опубликовал: hohlova
Комментарии
Всего комментариев: 0
Оставить свой комментарий о материале:
avatar